عنوان الموضوع : فلسفة الرياضيات ...3مقولات للتحليل و المناقشة لتحضير البكالوريا
مقدم من طرف منتديات العندليب







فلسفة الرياضيات ..في 3 مقولات
للتحليل و المناقشة



- قيل: "المقترحات الرياضية تُقبَل على أنّها صحيحة لأنّ لا مصلحة لأحد بأن تكون خاطئة".
Montesquieu- Extrait de Mes pensées
أ- إشرح هذا القول، مبيّنًا الإشكالية التي يطرحها.
ب- ناقش هذا القول إنطلاقًا من أنّ صوابية الرياضيات هي نسبية.
ج-في رأيك ما هي أهمية الرياضيات في عصرنا الحالي؟




المقدمة: تبدو العلوم الرياضية، للوهلة الأولى، مختلفة عن العلوم الأخرى. وإنّها تشكّل عالمًا خاصًا مستقلاً، يتعلّق بالعقل دون العودة إلى الواقع الخارجي، أو إلى المختبرات والأدوات سواء البسيطة أو المعقدة منها. ولقد ذهب البعض إلى حدّ القول أنّ عالِم الرياضيات لا يحتاج إلا إلى لوح أسود وطبشور.
ماذا قصد مونتسكيو بقوله هذا حول الرياضيات؟ هل نستطيع إعتبار الرياضيات علمًا لا يقبل الشكّ؟
الشرح: - قصد مونتسكيو بأنّ الرياضيات هو علم وضعي موضوعي مقبول من الجميع، وهو بالإضافة إلى ذلك حاجة لا غنى عنها وبالتالي لا مصلحة لأحد بعدم القبول بنتائجه.
- الكلّ يتّفق على أنّ التفكير الرياضي هو أساسًا تفكير برهاني. والبرهان يقوم على مماثلة المعلوم بالمجهول، وهذا ما ألمح إليه بوانكاره حين قال: "بقدر ما نرى الكلّ بشكل واضح وبلمحة واحدة، بقدر ما نفهم أوجه التشابه مع غيره من الأشياء المشابهة، وبقدر ما سيكون لدينا، بنتيجة ذلك، فرصة لتخمين التعميمات الممكنة".
- البرهان الرياضي هو برهان تعميمي. فعندما أعرف مجموع زوايا المثلث يمكنني أن أعرف بالبرهنة الرياضية مجموع زوايا المتعدّد الأضلاع. فمن خلال حالة خاصة أنطلق لمعرفة حالات أخرى عبر الربط أو الإبدال وما شابه من العمليات الرياضية. فالبرهنة الرياضية، بالرغم من كونها استدلالية وحشوية، إلا أنها تستخدم بعض البناءات الجديدة من مثل المبادرة إلى إجراء إمتداد في رسم هندسي أو إضافة رموز في معادلة بهدف الوصول إلى حل جديد.
المناقشة:- ولكن، هل نستطيع أن نصل من خلال هذا البرهان أن نصل إلى الحقيقة المطلقة كما يزعم بعض العلماء الذين يضعون كلّ ثقتهم بالرياضيات؟
- لقد رأينا في الرياضيات أنّني أبرهن قضيّة مجهولة بردّها إلى قضيّة معلومة. ولكن إذا تطلّب منّي أن أبرهن هذه القضية الأخيرة، فلا بدّ لي من إرجاعها إلى قضية أخرى سابقة لها ومعلومة. وهكذا دواليك "بسلسلة من الأفكار". ولكن أين تنتهي هذه السلسلة؟ لا بدّ لها من أن تنتهي في حقائق أولى غير قابلة للبرهان، وهي ما نسمّيه اليوم المسلّمات أو ألأواليات أو البديهيات...
هي أقاويل رياضية لا يُبَرْهَن عليها، ويُطلب منا أن نقبلها كمسلّمات فقط لتحقيق البناء الرياضي: مثل مسلّمة اقليدس بأننا من نقطة خارجة عن خط مستقيم في سطح ما، نستطيع أن ننشئ خطًا واحدًا موازيًا لهذا الخط. ونحن نستنتج من هذه المسلّمة ما يترتب عليها من قضايا دون أن تكون هي مستنتجة من غيرها. لكن هذه المسلّمات الاقليديسية تبدلت تبدلاً جذريًا مع ظهور الهندسات اللاإقليديسية، فقد حاول العلماء أكثر من مرة برهنة مسلّمة المتوازي، ولكن دون جدوى. وتكررت المحاولات في القرن التاسع عشر مع علماء أشهرهم “لوبتشفسكي”. فافترض أننا نستطيع من نقطة خارجة عن خط مستقيم في سطح ما أن ننشئ عددًا لا متناهيًا من المتوازيات.
وقام “ريمان” بعمل مماثل عندما افترض أننا من نقطة خارجة عن خط مستقيم في سطح ما لا نستطيع أن ننشئ أي متواز لهذا الخط. ورفض أيضًا مقولة اقليدس بأننا لا نستطيع أن ننشئ بين نقطتين سوى خط واحد.
- فمن الممكن إذًا الوصول إلى قضايا رياضية غير متناقضة انطلاقًا من فرضيات غير إقليديسية. هكذا تفقد فرضية اقليدس الخاصة بالمتوازيات صفة الضرورة، على اعتبار أن نقائضها مقبولة ومنتجة في الوقت ذاته.
- وهكذا لم يعد في الرياضيات مسلّمات يصح اعتبارها كحقيقة مطلقة. فقد ولّى زمن الإطلاقيات بعد ولادة الهندسات اللاإقليديسية وأصبحت الحقيقة نسبية تابعة لنظام هندسي معيّن.
الخاتمة: الرياضيات لغة العلوم ومفتاحها حسب تعبير "روجر بيكون" كما انها تغدو ،ومن حيث هي ارقام ودرجات ونسب ،لغة حياتنا اليومية الحديثة – في المدرسة والمصرف والعمل والادارة والالعاب الرياضية وحركة السيارات والقطارات والطائرات ... ناهيك عن دورها في حقول الزراعة والصناعة والاعمال والصيدلة وسواها التي تقوم جميعها على خرائط ونسب ومعادلات دقيقة .ومن الصعب تصور قطاع واحد في العالم اليوم يستغني عن الرياضيات.
فالعلوم الرياضية اذا ليست علما نظريا محضا كما يظن ،بل هي علم عملاني .وليست عقيمة كالقياس المنطقي ، بل خصيبة تضبط سائر العلوم (وبخاصة علوم الطبيعة ) ولكنا تغتني ايضا بافكار جديدة من هذه العلوم.




"ان الرياضيات تميل أكثر فأكثر الى ان تكون العالم الذي يدرس العلاقات بين كائنات مجردة ومعرّفة بطريقة افتراضية شريطة الا توقعنا هذه التعاريف في اي تناقض".
أ- اشرح هذا القول ل " اميل بوريل" مبينا الاشكالية التي يطرحها.
ب- ناقش هذا الرأي في ضوء الآراء الاخرى التي ترى انه بالرغم من قيام الرياضيات على الافتراض تبقى من اكثر العلوم صدقية.
ج- ما هو الفرق بين الفرضية في العلوم الاختبارية والفرضية في العلوم الرياضية؟



أ-المقدمة:
اهتمام الفلاسفة والمفكرون بدراسة الرياضيات كأحد أنواع التفكير الانساني...
تعريف الرياضيات... وهذا القول يطرح مسألة العلم الرياضي للجدل والنقاش: بين من يعتبر ان المبادىء الرياضية افتراضات ، وبين من يعتبرها ناتجة عن التجربة او البرهان...
الاشكالية: اذا ما هي حقيقة المبادىء الرياضية؟ هل نستطيع اعتبارها مجرد فرضيات نضعها لنقوم بعمليات البرهنة والاستنباطات الرياضية؟أم انها حقائق مبرهنة؟ هل يمكن بالفعل الانتقال بالبرهان من فرضية الى نتيجة يقينية؟ ما هي شروط ذلك؟
الشرح:
الرياضيون القدامى يرون ان هناك كائنات رياضية تقوم على بديهيات لا تحتاج الى برهنة وموجودة في الذهن ونعرفها حدسيا( المساويان لثالث متساويان) وهذا ما نجده عند فيثاغوراس وافلاطون واقليدس
المحدثون يرون غير ذلك: لوباتشفسكي وريمان وغاووس: وضعوا انظمة رياضية جديدة لا تقوم على المسلمات الاقليدية بل على فرضيات اخرى
تعتبر الحقائق الرياضية ضمن كل نظام صحيحة وان كانت قائمة على فرضيات
اذا الرياضيات هي علم فرضي وهذا يعني انه يمكن ايجاد انظمة رياضية جديدة شرط ان لا تكون التعاريف التي يتوصل اليها متناقضة ..
ب- المناقشة:
لقد اعتبر الرياضيون المحدثون ان الرياضيات هي علم افتراضي...
ولكن الرياضيات بقيت لزمن طويل تقوم على البرهان والقياس: الحقائق الرياضية ( البديهية والمسلمة والتعريفات) تستنتج من الافكار الاولية الفطرية الموجودة في العقل.
التفكير الرياضي هو تفكير برهاني ( مماثلة المجهول بالمعلوم)وهو غير البرهان المنطقي...
الحقيقة التي اصل اليها هي غير قابلة للبرهان ( الاصول) هي اواليات وبديهيات ومسلمات... وان كانت قد انطلقت اساسا من فرضيات:
الانساق الهندسية الثلاثة التي قدمها كل من اقليدس ولوباتشفسكي وريمان كلها صحيحة بحسب المقدمات التي انطلق منها كل رياضي .. وبحسب بوانكاريه فان التساؤل عن صحة هذه الهندسة او خطأ تلك تساؤل لا معنى له فالنسق الهندسي في النهاية نظام اصطلاحي يعتمد على نوع تعريفنا للقضايا التي يقوم عليها النظام الهندسي.
رغم قيامها على الافتراض تبقى الرياضيات من اكثر العلوم صدقية وذلك لاننا في الرياضيات نعتمد على البرهان والاستدلال والتحليل ... وهذه كلها اساليب التفكير الصحيح التي تضبط سائر مواضيع التفكير الانساني...
اذا الرياضيات هي علم استنباطي ونتيجته دائما صحيحة اذا تم استنباطها بشكل صحيح من المسلمة...
ج- ابداء رأي: اجابة حرة مع مراعاة النقاط التالية في المقارنة:
- العلوم الرياضية ترتكز على المنهج الاختباري الذي يتكون من ثلاث خطوات هي الملاحظة والفرضية والتجربة
- العلوم الرياضية استنباطية افتراضية تقوم على الاستنباط وعلى الافتراض
- في العلوم الاختبارية نضع فرضيات عدة ولكن نتحقق منها عبر التجربة(كلود برنار)+كبلر وضع 19 فرضية لدوران المريخ حول الشمس....
- اما في الرياضيات فنحن نضع افتراضا واحدا للمسألة ونقوم بالاستناد الى تلك الفرضية باستنباط عدد لا يحصى من النتائج المبرهنة(بوانكاريه)
- هذا ما يجعل التناقض يظهر بين الحقائق الرياضية والحقائق الاختبارية؛ اذ الاولى هي افتراضية والثانية يقينية
- ولكن اجماع الكل ان تلك الحقائق ( الرياضية ) المستنبطة يمكن الوثوق بها ولذلك كانت الرياضيات عبر التاريخ علما يقينيا يمكن ترجمة الحقائق الاختبارية بلغتها...



قيلَ "إنّ الرياضيات لا تستطيع أن تمحي أي حكم مسبق ".
Pensées (1815-1832)
Citations de Johann Wolfgang
أ- إشرح هذا القول مبيّنًا الإشكالية التي يطرحها.
ب- ناقش هذا الرأي مظهرًا أنّ للرياضيات، من خلال البرهان الرياضي، دور أساسي في عملية فهم ما هو مجهول والتقدّم على الصعيد المعرفي الذي ينسحب إيجابًا على التطوّر.
ج- برأيك ما هو الموقف الأنسب الواجب إتّخاذه من الرياضيات؟




ت‌-المقدمة:
• بلغت العوم الرياضية وثبتها العالية خلال عملية تطور طويل في اتجاه مزيد من العقلانية وبناء علوم اكثر فاكثر تجريدا .وكان موضوع الرياضيات يتسع فهو يتناول في الاساس المقدار المجرد والقياس المندرج تحت اسم الكمية القابلة للزيادة والنقصان. وقد عرفها ديكارت بأنها "علوم النظام والقياس".
•وقد قيلَ "إنّ الرياضيات لا تستطيع أن تمحي أي حكم مسبق ".
الإشكالية:
•فما معنى هذا القول؟ وهل نستطيع حقًا أن نعتبر أنّ نتائج العلوم الرياضية غير دقيقة ولا تفيدنا بشيء؟ أم أنّها بالرغم من عدم امتلاكها للحقيقة المطلقة قادرة على التطوير والتقدّم؟
الشرح:
•عندما نتحدّث عن الرياضيات يتبادر إلى أذهاننا فكرة: علم موضوعي يؤدّي إلى الحقيقة المطلقة ويصحّح كلّ الأحكام المسبقة التي كانت تبادر إلى ذهن اٌلإنسان.
•ولكننا اليوم وإنطلاقًا من تعريفنا للمسلّمات والبديهيات، نلاحظ أنّ ما كان حقيقة مطلقة لم يعد اليوم.
•وهذا ما دفع إلى القول أنّ الرياضيات لا تستطيع أن تلغي حكم مسبق.
•ففي الواقع، إنّ المسلّمات هي أقاويل رياضية لا يُبَرْهَن عليها، ويُطلب منا أن نقبلها كمسلّمات فقط لتحقيق البناء الرياضي: مثل مسلّمة اقليدس بأننا من نقطة خارجة عن خط مستقيم في سطح ما، نستطيع أن ننشئ خطًا واحدًا موازيًا لهذا الخط. ونحن نستنتج من هذه المسلّمة ما يترتب عليها من قضايا دون أن تكون هي مستنتجة من غيرها. لكن هذه المسلّمات الاقليديسية تبدلت تبدلاً جذريًا مع ظهور الهندسات اللاإقليديسية، فقد حاول العلماء أكثر من مرة برهنة مسلّمة المتوازي، ولكن دون جدوى.
•وهكذا لم يعد في الرياضيات مسلّمات يصح اعتبارها كحقيقة مطلقة. فقد ولّى زمن الإطلاقيات بعد ولادة الهندسات اللاإقليديسية وأصبحت الحقيقة نسبية تابعة لنظام هندسي معيّن.
•أن البديهيات التي اصطلح على تسميتها في الرياضيات أكسيوم لم تعد كما كانت من قبل إلزامات منطقية عامة ومقبولة في كل مجالات العلوم، بل صارت بدورها فرضيات صالحة فقط في مجال معين. فالقول مثلاً أن “الكل أكبر من الجزء” يعتمد على تعريف محدد للكمية. فهو قول صحيح في مجال الكمية المتناهية فقط، أما في مجال الكمية اللامتناهية، فإن السلسلة اللامتناهية للأعداد الطبيعية تشتمل أيضًا على سلسلة لا متناهية من الأعداد المزدوجة. فههنا إذًا سلسلتان لا متناهيتان ومتساويتان مع أن واحدة منهما هي قسم من الأخرى.
•هكذا فقدت البديهيات أوالأكسيومات صفة الإطلاق وصارت بدورها مجرد فرضيات عملانية في مجال محدد، وصارت الرياضيات ذات طابع افتراضي استنباطي. فتكون أي قضية رياضية صحيحة فقط بالنسبة للفرضيات التي انطلقت منها، وتكون قضية مجموع زوايا المثلث مختلفة بين هندسات إقليدس ولوبتشفسكي وريمان. بالتالي فإن الفرضيات الرياضية هي أقاويل ننطلق منها لإقامة نظام رياضي متكامل.
•إنطلاقًا من هذا الواقع، أنستطيع أن نتخلّى عن الرياضيات ونعتبرها علمًا مضللاً؟

ث‌-المناقشة:
•قطعًا لا، فلا أحد ينكر على الرياضات دورها في عملية التقدّم العلمي، والسبب في ذلك أنّها تقوم على البرهان، أي مماثلة المعلوم بالمجهول، وبالتالي فإنّ نتائجها منطقية وصحيحة ولكن نسبةً إلى منطلقاتها.
•إن التقدم الهائل في العلوم الرياضية والمصداقية العالية التي بلغتها جعلت منها مثالاً يحتذى في العلوم الأخرى.
•إن علوم المادة تسعى إلى مقاربة منهج الاستنباط وإلى استعمال لغة الرياضيات، وهذا المشروع العلمي مردّه إلى أن الرياضيات مبنية على مجرد قوانين وتتميز بالتالي بوثوق منهجها الافتراضي الاستنباطي وبدقة لغتها.
•وإبان القرن السابع عشر كان غاليله ونيوتن من الأوائل الذين خطرت لهم فكرة استخدام الرياضيات كلغة للفيزياء، وذلك بهدف ضبط معارفنا عن العالم المادي بلغة دقيقة وصارمة.
•فالبيولوجيا استخدمت الحساب الاحتمالي في علم الوراثة. وعلم الاجتماع والعلوم الاقتصادية استخدمت الاحصاءات. وحتى علم النفس حاول أن يلجأ في بعض الحالات إلى التعبير الرياضي.



-----------المرجع--------------
اختبارات الفلسفة-لبنان
الأستاذ: بيار مالك..بتصرف
" الكلمة الطيبة صدقة "


>>>>> ردود الأعضـــــــــــــــــــاء على الموضوع <<<<<
==================================

>>>> الرد الأول :

بارك الله فيك ورزقك الجنة
شكرا لك

=========


>>>> الرد الثاني :



سرني ردك الطيب اختي....بوركت

=========


>>>> الرد الثالث :

تتحفنا دائما بمواضيعك المميزة شكرا على ماتبذله من مجهودات للنهوض بالفلسفة

=========


>>>> الرد الرابع :



=========


>>>> الرد الخامس :




مشاركاتك قيمة و مواضيعك مفيدة كما عودتنا أستاذنا الكريم

زادك الله نورا و علما على علمك
و رزقك ايمانا صادقا و قلبا خاشعا
نسال الله ان يتقبل كافة اعمالك و جهودك خالصة لوجهه سبحانه

=========


جزاك الله خيرا


بارك الله فيك ورزقك الجنة
شكرا لك


سرتني ردوكم الطيبة ....بوركتم

شكرا على شرخ الاقوال



شكرا استاذ على مجهوداتك الكبيرة
تحياتي

جزاك الله كل خير

وجعل عملك هذا في ميزان حسناتك


بارك الله فيك